APROKSIMASI KESALAHAN

1 Membilang dan Mengukur

Menghitung terbagi dua macam yaitu membilang dan mengukur. Hasil membilang berbeda dengan hasil mengukur. Adapun perbedaannya adalah:

membilang adalah menghitung jumlah yang pasti, artinya tidak dapat dibuat pecahan. Sedangkan mengukur adalah menghitung jumlah yang belum pasti, artinya dapat dibuat pecahan berupa bilangan pembulatan atau pendekatan.

            

Contoh 1.membilang

a. Banyak penduduk kota X ada 200.000 orang.

b. Banyak SMK di kota X ada 200 buah.

c. Banyak hewan di kebun binatang X ada 2000 ekor.

Contoh 2. mengukur

a. Luas kota X adalah 399,6 km persegi.

b. Berat sebuah apel adalah 0,1 kg.

c. Tinggi tower X 25,75 m.

2 Pembulatan

Pada pengukuran ada tiga macam pembulatan yaitu:

a) Pembulatan ke satuan ukuran terdekat.

     Contoh 3. Pembulatan ke satuan ukuran terdekat

      13,7 kg = 14 kg; dibulatkan ke kilogram terdekat.

      101,12 m = 101,1 m; dibulatkan ke persepuluh meter terdekat.

      15431 m^2 = 15430 m^2; dibulatkan ke puluhan meter persegi terdekat.

b) Pembulatan ke banyaknya angka desimal.

    Contoh 4. Pembulatan ke banyaknya angka-angka desimal

     8,47571 = 8,4757 dibulatkan sampai empat tempat desimal.

                   = 8,476 dibulatkan sampai tiga tempat desimal.

                   = 8,48 dibulatkan sampai dua tempat desimal.

                   = 8,5 dibulatkan sampai satu tempat desimal.

c) Pembulatan ke banyaknya angka penting (signifikan).

Semua angka adalah penting kecuali angka nol yang digunakan untuk menyatakan tempat desimal.

Contoh 5. angka penting.

31,0 mempunyai tiga angka penting.

30,5 mempunyai tiga angka penting.

0,30 mempunyai dua angka penting.

0,3011 mempunyai empat angka penting.

0,007 mempunyai satu angka penting.
0,100 mempunyai tiga angka penting.

Contoh 6. Pembulatan ke banyaknya angka-angka penting

0,1005 mempunyai empat angka penting.
0,100   dibulatkan sampai tiga angka penting.
0,10     dibulatkan sampai dua angka penting.
0,1       dibulatkan sampai satu angka penting.

3  Mengukur

Dalam kegiatan mengukur, ada beberapa konsep penting yaitu: satuan pengukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, persentase kesalahan, ukuran terbesar, ukuran terkecil, dan toleransi. Berikut dibahas pengertian dari masing-masing konsep itu.

3.1  Pengertian ketelitian

Definisi : ketelitian merupakan satuan pengukuran terkecil.

Cara yang mudah untuk melihat ketelitian suatu pengukuran adalah dengan melihat banyaknya angka setelah koma tanda desimal. Apabila banyak angka setelah koma adalah nol artinya tidak ada seperti 4 maka ketelitiannya 10^-0 =1, apabila satu angka seperti 4,3 atau 5,0 maka ketelitiannya 10^-1 =1/10=0,1, dan seterusnya. Kita misalkan ketelitian dengan K dan banyak angka setelah koma desimal adalah d , maka ketelitian dirumuskan dengan

K =10^-d

dengan d = 0, 1, 2, 3, …

Contoh 7. Ketelitian

Pengukuran (P)	Banyak angka setelah koma (d)	Ketelitian  (K)
5	0	10-0 = 1
2,5	1	10-1 =0, 1
1,25	2	10-2 =0, 01
10,256	3	10-3 =0, 001
12,1027	4	10-4 =0, 0001

3.2  teori Kesalahan  dalam pengukuran

Kesalahan adalah selisih antara hasil pengukuran dengan hasil sebenarnya. Misal hasil pengukurannya adalah P dan ketelitian K, maka:

a) Salah mutlak : SM= ½ × K  = ½ × ketelitian.

b) Batas atas pengukuran : BA= P + SM.

c) Batas bawah pengukuran : BB = P - SM. 

d) Hasil pengukuran dapat dituliskan dalam bentuk P ± SM.

e) Salah relatif  : SR = SM/P = 

f) Persentase kesalahan : PS = SR × 100% = salah relatif  ×  100% 

Contoh 8. Hasil pengukuran gula pasir = 3,6 kg.  Hitunglah salah mutlak, salah relatif, prosentase kesalahan, dan batas atas/bawah pengukurannya.

Penyelesaian:

Hasil pengukuran : P = 3,6 kg  ( satu angka setelah koma tanda desimal )

Maka ketelitiannya adalah : k = 10^-1 kg = 0,1 kg.

salah mutlak : SM= ½ ( 0,1 ) = 0,05 kg.

Batas atas pengukuran : BA = P + SM = ( 3,6 + 0,05 ) kg = 3,65 kg.

Batas bawah pengukuran : BB = P – SM  = (3,6 – 0,05 ) kg = 3,55 kg.

salah relatif  : SR = SM/P = 0,05 / 3,6 = 0,0139.

Persesntase kesalahan : PS = SR × 100% = 0,0139 × 100% = 1,39%.

3.3 Toleransi

Toleransi pengukuran adalah selisih antara pengukuran terbesar yang diterima dan pengukuran terkecil yang diterima. Maka:

Toleransi: T = BA – BB = 2 ×  SM

Contoh 9. Hasil pengukuran tepung beras adalah 4,5 ± 0,05 kg. Tentukan toleransinya.

Penyelesaian:

Diketahui  SM =0,05, maka toleransinya: T = 2 ×  SM = 2 (0,05) kg = 0,1 kg

4  Operasi pada pengukuran

4.1  Jumlah dan Selisih Pengukuran

Misal hasil pengukuran I adalah P₁ dan salah mutlak SM₁ . Hasil pengukuran II adalah P2 dan salah mutlak  SM₂. 

a) jumlah

   Batas atas : BA  = (P₁ +SM₁) + (P2 +SM2)

   Batas bawah: BB =  (P₁ - SM₁) + (P2 - SM2)

b) selisih

   Batas atas : BA  = (P₁ +SM₁) - (P2 - SM2)

   Batas bawah: BB =  (P₁ - SM₁) - (P2 +SM2)

Contoh 10:

Hasil pengukuran adalah 3,2 kg dan 1,6 kg.

Tentukan batas atas/bawah jumlah pengukuran dan batas atas/bawah selisih pengukuran.

Penyelesaian:

Untuk pengukuran 3,2 kg, artinya hasil pengukurannya = (3,2 ± 0,05) kg

Untuk pengukuran 1,6 kg, artinya hasil pengukurannya = (1,6 ± 0,05) kg

Maka:

- Batas atas jumlah = (3,2 + 0,05 + 1,6 + 0,05) kg = 4,90 kg

- Batas bawah jumlah = (3,2 – 0,05 + 1,6 – 0,05) kg = 4,70 kg

- Batas atas selisih = (3,2 + 0,05) – (1,6 – 0,05) kg = 1,70 kg.

- Batas bawah selisih = (3,2 – 0,05) – (1,6 + 0,05) kg = 1,50 kg.

4.2  Hasil kali dan hasil bagi dua pengukuran

Misal hasil pengukuran I adalah P₁ dan salah mutlak SM₁ . Hasil pengukuran II adalah P2 dan salah mutlak  SM₂. 

a) hasil kali

   Batas atas : BA  = (P₁ +SM₁)(P2 +SM2)

   Batas bawah: BB =  (P₁ - SM₁)(P2 - SM2)

b) selisih

   Batas atas : BA  = (P₁ +SM₁)/(P2 - SM2)

   Batas bawah: BB =  (P₁ - SM₁)/(P2 +SM2)

Contoh 11:

Dua hasil pengukuran yaitu 4,1 m dan 2 m. Tentukan batas atas dan bawah hasil kali dan hasil bagi pengukuran.

Penyelesaian:

Untuk pengukuran 4,1 m, artinya hasil pengukurannya (4,1 ± 0,05) m

Untuk pengukuran 2 m, artinya hasil pengukurannya (2 ± 0,5) m

Maka:

- Batas atas hasil kali = (4,1 + 0,05) (2 + 0,5) = 10,375 m^2.

- Batas bawah hasil kali = (4,1 - 0,05) (2 - 0,5) = 6,075 m^2.

- Batas atas hasil bagi = (4,1 + 0,05) / (2 - 0,5) = 2,767.

- Batas bawah hasil bagi = (4,1 - 0,05) / (2 + 0,5) = 1,620.


Contoh 12:
Panjang suatu bahan pakaian seragam adalah (40 ± 1) m. Jika bahan tersebut dipotong menjadi potongan-potongan yang berukuran 1,5 m dengan salah mutlak 0,05 m, maka banyaknya potongan bahan pakaian seragam yang diperoleh berada diantara berapa?

Penyelesaian:

Bahan pakaian (40 ± 1) m.

- Panjang paling besar = (40 + 1) m = 41 m

- Panjang paling kecil = (40 – 1) m = 39 m

Potongan bahan 1,5 m dengan salah mutlak 0,05 m

- Panjang potongan paling besar = (1,5 + 0,05) m = 1,55 m

- Panjang potongan paling kecil = (1,5 – 0,05) m = 1,45 m

Hasil bagi paling besar = (panjang paling besar) / (potongan paling kecil)

= (41) / (1,45) = 28,27 ≊ 28

Hasil bagi paling kecil = (panjang paling kecil) / (potongan paling besar)

= (39) / (1,55) = 25,16 ≊ 25

Jadi banyaknya potongan berada diantara 25 dan 28.