Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian teorema, proposisi dan sejenisnya yang berangkat dari masalah-masalah khusus yang digeneralisasi menjadi kesimpulan umum. Pembuktian seperti ini pertama kali ditemukan oleh Blaise Pascal (Matematikawan Perancis, 1623 – 1662) dan Augustus De Morgan (Matematikawan Inggris, 1806 – 1871) menamainya induksi lengkap.
Perhatikanlah jumlah n bilangan asli pertama yang dituliskan dalam notasi sigma.
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmatika, didapatkan bahwa jumlah n bilangan asli pertama itu dapat ditentukan dengan rumus
Suatu rumus umum yang berlaku untuk tiap n bilangan asli seperti rumus di atas, dapat dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan induksi matematika. Adapun langkah-langkah induksi matematika adalah sebagai berikut:
Langkah 1:
Tunjukkan bahwa S(n) benar untuk beberapa nilai pertama n misalnya untuk n=1 atau S(1) benar, n=2 atau S(2) benar, n=3 atau S(3) benar.
Langkah 2:
Tunjukkan bahwa jika S(n) benar untuk n=k maka S(n) juga benar untuk n=k+1, atau jika S(k) benar maka S(k+1) juga benar.
Contoh 1. Buktikan bahwa
Berlaku untuk semua n bilangan asli.
Jawab:
Langkah 1 :
Untuk n =1, diperoleh
Jadi, S(n) benar untuk n = 1 atau S(1) benar.
Untuk n =2 , diperoleh
Jadi, S(n) benar untuk n = 2 atau S(2) benar.
Untuk n = 3 , diperoleh
Langkah 2 :
untuk n = k , diperoleh
Tetapkanlah S(n) benar untuk n = k atau S(k) benar.
Selanjutnya kita harusmenunjukkan bahwa S(n) juga benar untuk n = k+1
Jadi, karena s(n) benar untuk n = k maka s(n) juga benar untuk n = k+1.
Dengan demikian maka terbuktilah bahwa rumus S(n)
Berlaku untuk semua n bilangan asli.
Contoh 2. Buktikan bahwa
Berlaku untuk semua n bilangan asli.
Jawab:
Langkah 1 :
Untuk n =1, diperoleh
Jadi, S(n) benar untuk n = 1 atau S(1) benar.
Untuk n =2 , diperoleh
Jadi, S(n) benar untuk n = 2 atau S(2) benar.
Langkah 2 :
untuk n = k , diperoleh
Tetapkanlah S(n) benar untuk n = k atau S(k) benar.
Selanjutnya kita harusmenunjukkan bahwa S(n) juga benar untuk n = k+1
Jadi, karena s(n) benar untuk n = k maka s(n) juga benar untuk n = k+1.
Dengan demikian maka terbuktilah bahwa rumus S(n)
Berlaku untuk semua n bilangan asli.
No comments:
Post a Comment