Pendahuluan
Bangsa Babilon hidup di Mesopotamia (sekarang Iraq), sebuah dataran subur antara sungai Tigris dan sungai Efrat. Berikut adalah peta wilayah di mana peradaban berkembang.
Daerah itu telah menjadi pusat peradaban Sumeria yang berkembang sebelum 3500 SM. Ini adalah sebuah peradaban maju membangunan kota dan mendukung orang dengan sistem irigasi, sistem hukum , administrasi, dan bahkan layanan Pos. Mengembangkan cara menulis dan menghitung berdasarkan pada sistem sexagesimal, yaitu basis 60.
Sekitar 2300 SM bangsa Akkadia menyerbu daerah ini dan untuk beberapa waktu budaya terbelakang Akkadia bercampur dengan budaya bangsa Sumeria yang lebih maju. Orang Akkadia menemukan Abacus sebagai alat untuk menghitung dan mereka mengembangkan metode aritmatika penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Bagaimanapun, bangsa Sumeria memberontak terhadap aturan Akkadia dan pada 2100 SM mereka kembali berkuasa.
Bagaimanapun peradaban Babilon, dimana matematika adalah subjek dari artikel ini, telah mengganti itu dari bangsa Sumeria sekitar 2000 SM. Bangsa Babilon adalah orang-orang Semit (Arab atau yahudi) yang menyerang Mesopotamia mengalahkan bangsa Sumeria dan sekitar 1900 SM mendirikan ibukotanya di Babilon. Bangsa Sumeria telah mengembangkan tulisan berbentuk simbol runcing. Simbol mereka ditulis pada lempeng tanah liat basah yang kemudian dipanggang panas matahari dan ribuan tablet ini bertahan sampai hari ini. Sang penulis menggunakan jarum pada media tanah liat yang menyebabkan penggunaan simbol runcing karena garis melengkung tidak dapat atau susah digambar. Kemudian bangsa Babilon memakai gaya yang sama dengan menulis runcing pada tablet tanah liat.
Berikut adalah salah satu tablet mereka
Banyak tablet memperhatikan topik dimana tidak mengandung masalah matematika mendalam, meskipun begitu itu tetap menarik. Misalnya disebutkan di atas mengenai sistem irigasi dari awal peradaban Mesopotamia. Ada beberapa teks matematika Babilon lama di mana berbagai jumlah tentang menggali kanal akan diminta. Tablet-tablet itu antara lain YBC[1] 4666, 7164, dan VAT 7528, yang semuanya ditulis dalam bahasa Sumeria, dan YBC 9874 dan BM[2] 85196 No 15, yang ditulis dalam bahasa Akkadia. Dari sudut pandang matematika masalah ini relatif sederhana.
Bangsa Babilon memiliki sistem bilangan yang lebih maju, dalam beberapa cara lebih maju dari system kita sekarang. Itu adalah sistem posisional dengan basis 60 dari pada sistem dengan basis 10 yang digunakan secara luas hari ini. untuk rincian lebih lanjut dari angka bangsa Babilon, dan juga diskusi mengenai teori mengapa mereka menggunakan dasar 60, lihat artikel tentang angka Babilon. Bangsa Babilon membagi hari ke dalam 24 jam, setiap jam ke dalam 60 menit, setiap menit ke dalam 60 detik. Bentuk perhitungan ini telah bertahan selama 4000 tahun sampai zaman kita sekarang. Untuk menulis 5j 25' 30", yaitu 5 jam, 25 menit, 30 detik, hanya menulis pecahan sexagesimal, 5 25/60 30/3600. kita memakai notasi 5;25, 30 ini untuk bilangan sexagesimal, untuk rincian lebih lanjut tentang notasi ini lihat artikel angka Babilon.
Tabel kuadrat
Mungkin aspek yang paling menakjubkan dari keterampilan menghitung Bangsa Babilon adalah pembuatan tablet-tablet untuk membantu perhitungan. Dua tablet ditemukan di Senkerah di Efrat pada 1854 dari masa 2000 SM. Mereka memberikan bilangan kuadrat hingga 59 dan bilangan kubik sampai 32. Tabel memberikan 8^2 = 1,4 yang merupakan singkatan dari
8^2 = 1.4 = 1 × 60 + 4 = 64
dan seterusnya hingga
59^2 = 58.1 (= 58 × 60 +1 = 3481).
Rumus perkalian
Bangsa Babilon menggunakan rumus perkalian
ab = [(a + b)^2 – a^2 – b^2] / 2
untuk membuat perkalian lebih mudah. Bahkan lebih baik adalah rumus mereka
ab = [(a + b)^2 - (a - b)^2] / 4
yang menunjukkan bahwa tabel kuadrat adalah semua yang diperlukan untuk mengalikan bilangan, hanya mengambil selisih dari dua kuadrat yang tampak di tabel kemudian mengambil seperempat jawabannya.
Pembagian dan Tabel Kebalikan
Pembagian adalah proses sulit. Bangsa Babilon tidak memiliki algoritma panjang Pembagian. Sebaliknya mereka mendasarkan metode mereka pada fakta bahwa
a / b = a × (1 / b)
jadi semua yang diperlukan adalah tabel kebalikan ( table of reciprocals). Tentu saja tabel ini ditulis dalam angka mereka, tetapi menggunakan notasi sexagesimal yang diperkenalkan di atas, salah satu awal tabel mereka akan terlihat seperti berikut:
bilangan kebalikan
2 0; 30
3 0; 20
4 0; 15
5 0; 12
6 0; 10
8 0; 7.30
9 0; 6.40
10 0; 6
12 0; 5
15 0; 4
16 0; 3.45
18 0; 3.20
20 0; 3
24 0; 2.30
25 0; 2.24
27 0; 2.13.20
Sekarang tabel memiliki kesenjangan karena 1/7, 1/11, 1/13, dll bukan pecahan basis 60 terbatas . Ini tidak berarti bahwa Bangsa Babilon tidak bisa menghitung 1/13, mereka akan menulis
1/13 = 7/91 = 7 × (1/91) = (kira-kira) 7 × (1/90)
dan nilai-nilai ini, misalnya 1/90, diberikan di tabel mereka.
Pendekatan akar dua
tablet YBC 7289 adalah diagram persegi yang panjang sisi-sisinya 30. Diagonal digambar di dalam dan dekat titik pusat ditulis 1;24.51.10 dan 42.25.35 ( bentuk sexagesimal).
Bagilah 42.25.35 oleh 30, tentu saja dengan pembagian dalam basis 60.
Dengan mengkonversi 1;24.51.10 ke dalam bilangan decimal yaitu
Memberikan 1,414212963 yang mendekati 
dengan persen error yang sangat kecil yaitu
dengan persen error yang sangat kecil yaitu 
Pendekatan tetapan lingkaran pi
Bangsa Babilon menggunakan 3 untuk nilai pi. Ini ditemukan dari tablet YBC 7302
disini, 3 adalah keliling lingkaran , 9 kuadrat dari 3, dan 0;45 (45/60=0,75 dalam decimal) adalah luasnya.
Aljabar
Matematika Babilon jauh melampaui aritmatika perhitungan biasa (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian). Di artikel tentang teorema Pythagoras di matematika bangsa Babilon para peneliti memeriksa beberapa ide-ide geometris mereka dan juga beberapa ide-ide dasar dalam teori bilangan. Mari kita sekarang memeriksa beberapa aljabar yang dikembangkan bangsa Babilon, terutama masalah yang menyebabkan persamaan dan pemecahannya.
Persamaan Linear
lagi tabel akan menjadi mencari untuk memecahkan persamaan linear ax=b. mereka akan memeriksa tabel 1/n untuk menemukan 1/a dan kemudian mengkalikan jumlah sexagesimal diberikan dalam tabel oleh b. contoh masalah seperti ini adalah sebagai berikut.
Misalkan, sang penulis[3] menulis , 2/3 dari 2/3 kuantitas tertentu diambil, 100 unit ditambahkan dan kuantitas asli pulih. Masalah yang dimunculkan oleh sang penulis adalah menemukan jumlahnya. Solusi yang diberikan oleh sang penulis adalah sbb:
Langkah1: menghitung 0; 40 kali 0; 40 untuk mendapatkan 0; 26.40.
Langkah2: Mengurangi 1; 0.0 oleh 0; 26.40 untuk mendapatkan 0; 33.20.
Langkah3: Mencari kebalikan 0; 33.20 di tabel untuk mendapatkan 1; 48.
Langkah4: kalikan 1; 48 oleh 1.40 untuk mendapatkan jawaban 3.0.
Hal ini tidak mudah untuk memahami perhitungan sang penulis kecuali kita menerjemahkannya ke dalam notasi aljabar modern. kita harus memecahkan
2/3 × 2/3 x + 100 = x
yang setara dengan pemecahan
(1 - 4/9) x = 100.
Inilah mengapa sang penulis menghitung 2/3 × 2/3 dikurangi jawabannya dari 1 untuk mendapatkan (1 - 4/9), kemudian mencari 1 / (1 - 4/9) dan kemudian x ditemukan dari 1 / (1 - 4/9) dikalikan 100 memberikan 180 (yang adalah 1; 48 kali 1.40 mendapatkan 3.0 di sexagesimal).
Persamaan Kuadrat
Untuk memecahkan persamaan kuadrat bangsa Babilon dasarnya menggunakan rumus standar. mereka memperlakukan dua jenis persamaan kuadrat, yaitu
x^2 + bx = c dan x^2 - bx = c
mana di sini b, c positif tetapi belum tentu bilangan bulat. Bentuk solusi mereka mengambil itu, masing-masing
x= √ [(b/2)^2 + c] - (b/2) dan x = √ [(b/2)^2 + c] + (b/2).
Perhatikan bahwa dalam setiap kasus ini adalah akar positif dari dua akar kuadrat dan salah satu yang akan masuk akal dalam memecahkan masalah nyata. sebagai contoh masalah yang menyebabkan Bangsa Babilon untuk persamaan jenis ini sering bersangkutan bidang persegi panjang. Sebagai contoh jika daerah diberikan dan jumlah oleh yang panjang melebihi luasnya diberikan, maka luasnya memenuhi suatu persamaan kuadrat dan kemudian mereka akan berlaku versi pertama dari rumus di atas.
Masalah pada tablet perkalian tua Babilon menyatakan bahwa area persegi panjang adalah 1.0 (1x60+0 = 60) dan panjangnya melebihi luas oleh 7. Jadi misalkan luas = x dan panjang = x+7, maka persamaannya
x^2 + 7x = 1.0
tentu saja persamaan ini tidak diberikan oleh sang penulis yang menuliskan pemecahannya sebagai berikut.
Langkah1: Hitung setengah dari 7, yaitu 3; 30
Langkah2: kuadratkan itu untuk mendapatkan 12; 15.
Langkah3: menambahkan 1.0 untuk mendapatkan 1;12.15.
Langkah4: Ambil akar kuadrat (dari table kuadrat) untuk mendapatkan 8; 30.
Langkah5: kurangi 8;30 oleh 3; 30 yang memberikan jawaban 5 untuk lebar segitiga.
Perhatikan bahwa sang penulis telah efektif memecahkan persamaan dari jenis x^2 + bx = c dengan menggunakan rumus x= √ [(b / 2)^2 + c] - (b / 2). Dalam [10] Berriman memberikan 13 contoh khas masalah yang mengarah ke persamaan kuadrat diambil dari tablet Babilon lama.
Persamaan Kubik
Jika masalah yang melibatkan bidang persegi panjang menyebabkan persamaan kuadrat, maka masalah yang melibatkan volume persegi panjang penggalian (sebuah gudang ) menyebabkan persamaan kubik.
Bangsa Babilon yang terkenal sebagai pembuat table telah berhasil memecahkan persamaan kubik dengan bantuan tablet mereka. misalnya mereka membuat tabel untuk n^3 + n^2, dengan bantuan dari tabel ini, persamaan kubik tertentu bisa dipecahkan. Misalnya, persamaan
ax^3 + bx^2 = c.
Mari kita stres sesaat bahwa kita menggunakan notasi modern dan tidak seperti representasi simbolis ada di perkalian bangsa Babilon. Namun demikian bangsa Babilon bisa menangani contoh persamaan numerik tersebut dengan menggunakan aturan yang menunjukkan bahwa mereka memiliki konsep khas untuk jenis masalah tertentu dan metode khas untuk mengatasinya. Misalnya dalam kasus di atas mereka akan (dalam notasi) kalikan persamaan oleh a^2 dan membaginya dengan b^3 untuk mendapatkan
(ax/b)^3 + (ax/b)^2 = ca^2 / b^3.
menempatkan ax/b = y ini memberikan persamaan
y^3 + y^2 = ca^2 / b^3
yang sekarang bisa dipecahkan dengan melihat tabel n^3 + n^2 untuk nilai n memenuhi n^3 + n^2 = ca^2 / b^3. ketika solusi ditemukan untuk y kemudian x ditentukan oleh x = by/a. Peneliti stres lagi bahwa semua ini dilakukan tanpa notasi aljabar dan menunjukkan kedalaman pemahaman yang luar biasa matematikawan Babilon.
Lempeng tablet BM85200+ mengandung 36 masalah seperti ini, adalah yang dikenal paling awal dalam mencoba mengatur dan memecahkan persamaan kubik. Namun, sayangnya bangsa Babilon tidak mencapai rumus umum untuk memecahkan persamaan kubik seperti dalam persamaan kuadrat.
No comments:
Post a Comment